В секции routers создаём роутер:

smarthost:
  driver            = manualroute
  domains           = !+local_domains
  transport         = smart_transport
  route_list        = * smarthost.com
  no_more

где smarthost.com вам нужно заменить на имя вашего смартхоста. Имейте в виду, что порядок роутеров ВАЖЕН! Т.е. озаботьтесь, чтобы ваш роутер следовал впереди всех остальных, которые занимаются отправкой почты наружу. Кстати вы можете после смартхоста указать ещё и порт, например, если смартхост принимает почту по порту 587 (что для exim'а обычно верно), а 25-й порт у вас закрыл провайдер, то можно указать:

  route_list        = * smarthost.com::587

Далее в секции transports создаём транспорт:

smart_transport:
  driver = smtp
  hosts = smarthost.com
  hosts_require_auth  = smarthost.com

И наконец в секции authentication добавляем авторизацию:

LOGIN:
  driver             = plaintext
  public_name        = LOGIN
  client_send        = : username : password
  server_set_id      = $auth1

Где username и password замените на ваши логин и пароль для авторизации на смартхосте.

Теперь можно перезапускать exim и совершать отправку.